Числа Фибоначчи: свойства и применение в математике

Представьте: вы живёте в XIII веке, занимаетесь математикой и вдруг задаётесь вопросом: «Сколько пар кроликов будет через год, если каждая пара каждый месяц производит новую пару, начиная со второго месяца?» Звучит странно? Именно такой вопрос задал Леонардо Пизанский — более известный как Фибоначчи — и получил в ответ одну из самых удивительных последовательностей в математике.

Эта последовательность — числа Фибоначчи — встречается в ракушках, подсолнухах, архитектуре, искусстве и даже в алгоритмах. И при этом строится по правилу, которое поймёт даже школьник.

Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи — это последовательность, в которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

Начинается она так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Формально:

• F₀ = 0
• F₁ = 1
• Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ (для n ≥ 2)

Пример: 2 = 1 + 1 3 = 2 + 1 5 = 3 + 2 8 = 5 + 3 — и так далее.

Просто? Да. Мощно? Ещё как.

Золотое сечение: магия отношений

Если разделить любое число Фибоначчи на предыдущее, результат постепенно приближается к одному особенному числу — золотому сечению.

Обозначается оно буквой φ (фи) и примерно равно:

φ ≈ 1.6180339887…

Примеры:

• 1/1 = 1
• 2/1 = 2
• 3/2 = 1.5
• 5/3 ≈ 1.666
• 8/5 = 1.6
• 13/8 = 1.625
• 21/13 ≈ 1.615
• 34/21 ≈ 1.619
• … → стремится к 1.618

Золотое сечение считается «идеальной пропорцией» и встречается в:

• архитектуре (Парфенон, пирамиды),
• искусстве (картины, скульптуры),
• природе (расположение листьев, семян подсолнуха).

Свойства чисел Фибоначчи

У последовательности — масса удивительных свойств:

• Сумма первых n чисел равна Fₙ₊₂ – 1. Например: 0+1+1+2+3+5 = 12 = F₇ – 1 = 13 – 1.
• Каждое третье число — чётное, каждое четвёртое делится на 3.
• НОД двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным НОД их индексов: НОД(Fₘ, Fₙ) = F_НОД(m,n).
• Тождество Кассини: Fₙ₊₁·Fₙ₋₁ – Fₙ² = (–1)ⁿ.
• Можно выразить через формулу Бине (через золотое сечение): Fₙ = (φⁿ – (–φ)⁻ⁿ) / √5 — и это даёт точное целое число!

Где встречаются числа Фибоначчи?

Не только в учебниках. Вот реальные примеры:

🌿 В природе

У подсолнуха семена расположены по спиралям. Число спиралей по часовой и против — почти всегда соседние числа Фибоначчи: 34 и 55, 55 и 89, 89 и 144.

То же — в шишках, ананасах, лепестках цветов (например, лилия — 3, дельфиниум — 5, космея — 13).

📐 В архитектуре и искусстве

Пропорции золотого сечения использовали ещё древние строители. Леонардо да Винчи применял их в «Витрувианском человеке» и «Мона Лизе».

💻 В информатике

Числа Фибоначчи используются в:

• алгоритме Фибоначчиевой поиска — аналог бинарного, но с золотым сечением,
• структурах данных (фибоначчиевы кучи),
• генерации тестовых данных и рекурсивных задачах.

Интересные факты

• Число 144 — особенное: это F₁₂, и оно равно 12². Единственное число Фибоначчи >1, являющееся полным квадратом.
• Существуют треугольник Фибоначчи и последовательность Люка (похожа, но начинается с 2, 1).
• В математике есть теорема Цекендорфа: каждое натуральное число можно единственным способом представить как сумму непоследовательных чисел Фибоначчи.
• Числа Фибоначчи используют в техническом анализе на бирже (уровни коррекции Фибоначчи), хотя тут уже ближе к мистике, чем к математике.

Вывод: не просто ряд, а закон природы

Числа Фибоначчи — это не просто забавная последовательность из задачи про кроликов. Это пример того, как простое правило порождает сложную и гармоничную структуру, которую можно найти повсюду — от молекул до галактик.

Они напоминают: математика — не только формулы и экзамены. Это язык, на котором говорит Вселенная. А числа Фибоначчи — один из её самых красивых акцентов.

Так что в следующий раз, когда увидите подсолнух или ракушку — вспомните: за этой красотой стоит строгая математика. И, возможно, немного кроликов.