Как решать квадратные уравнения: формулы и примеры

Квадратные уравнения — это как первый серьёзный экзамен по взрослой математике. Кажется, что формулы пугающие, дискриминант — слово из заклинаний, а корни бывают «мнимые». Но на самом деле всё проще, чем кажется. И если вы помните, что 2×2=4, то сможете решить любое квадратное уравнение — даже то, что написано мелом на доске с подозрительным минусом под корнем.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это уравнение вида:

ax² + bx + c = 0

где:

• a, b, c — числа (коэффициенты),
• a ≠ 0 — иначе это будет не квадратное, а линейное.

Примеры:

• x² – 5x + 6 = 0 → a=1, b=–5, c=6
• 2x² + 3x = 0 → a=2, b=3, c=0 (неполное)
• –x² + 4 = 0 → a=–1, b=0, c=4 (тоже неполное)

Цель — найти значения x, при которых уравнение обращается в ноль. Эти значения называются корнями.

Формула корней: дискриминант и всё, что после

Главный инструмент — дискриминант. Он обозначается буквой D и вычисляется по формуле:

D = b² – 4ac

Значение дискриминанта говорит, сколько корней у уравнения:

• D > 0 → два различных действительных корня
• D = 0 → один корень (или два одинаковых)
• D < 0 → нет действительных корней (но есть комплексные — до них пока не дойдём)

А сами корни находятся по формуле:

x₁ = (–b + √D) / (2a)
x₂ = (–b – √D) / (2a)

Пример 1: два корня

Решим: x² – 5x + 6 = 0

Здесь: a = 1, b = –5, c = 6

1. Находим дискриминант:

D = (–5)² – 4·1·6 = 25 – 24 = 1

2. D > 0 → два корня

3. Считаем:

x₁ = (5 + √1) / 2 = 6/2 = 3
x₂ = (5 – √1) / 2 = 4/2 = 2

Ответ: 2 и 3. Можно проверить: (x–2)(x–3) = x²–5x+6 — сходится.

Пример 2: один корень

Решим: x² – 4x + 4 = 0

a = 1, b = –4, c = 4

D = (–4)² – 4·1·4 = 16 – 16 = 0

Один корень:

x = –(–4) / (2·1) = 4/2 = 2

Ответ: 2. Уравнение можно записать как (x–2)² = 0.

Пример 3: нет действительных корней

Решим: x² + x + 1 = 0

D = 1² – 4·1·1 = 1 – 4 = –3

D < 0 → действительных корней нет.

Но! Это не значит, что уравнение «нельзя решить». Просто корни будут комплексными — с мнимой единицей i. Но это уже уровень старших классов или вуза.

Неполные квадратные уравнения: можно проще

Если в уравнении нет b или c, решать можно без дискриминанта.

• ax² + c = 0 → переносим: x² = –c/a, потом извлекаем корень (если можно).
• ax² + bx = 0 → выносим x: x(ax + b) = 0 → x₁ = 0, x₂ = –b/a.

Пример: 3x² – 12x = 0

Выносим: x(3x – 12) = 0

→ x₁ = 0, x₂ = 12/3 = 4

Теорема Виета: угадываем корни без дискриминанта

Если квадратное уравнение приведённое (то есть a = 1), например: x² + bx + c = 0, то можно попробовать подобрать корни с помощью теоремы Виета.

Она говорит:

• Сумма корней = –b
• Произведение корней = c

Пример: x² – 5x + 6 = 0

Ищем два числа, которые в сумме дают 5 (потому что –b = –(–5) = 5), а в произведении — 6.

Подходят: 2 и 3 → 2+3=5, 2×3=6.

Значит, корни: 2 и 3 — без дискриминанта!

Теорема Виета — отличный способ проверить ответ или быстро решить уравнение на контрольной, если числа «хорошие».

Проверка: как убедиться, что всё верно?

Подставьте найденные корни в исходное уравнение. Должно получиться 0.

Например, для x²–5x+6=0 и корня x=2:

2² – 5·2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 — верно.

Также можно посмотреть на график функции y = ax² + bx + c — корни — это точки пересечения с осью X.

Вывод: квадратные уравнения — не страшны

Решение квадратного уравнения — это алгоритм: определил коэффициенты → посчитал дискриминант → применил формулу. Никакой магии, только арифметика.

Если запомнить формулу дискриминанта и корней — вы сможете решать их даже во сне. А если забудете — всегда можно вывести или заглянуть в учебник.

И не забывайте про теорему Виета — она превращает решение в лёгкую игру с числами. Главное — не бояться. Потому что даже самое страшное уравнение рано или поздно превращается в пару чисел… или в красивую параболу.