Производная функции: правила и примеры
От «что это?» до «а, так это просто» — о производной без паники
Производная функции — одно из самых важных понятий в математике. Звучит страшно: «производная», «предел», «касательная»… Кажется, что это что-то из высшей математики, доступное только гениям с доской и мелом. Но на самом деле производная — это просто скорость изменения. Как ускорение в машине, как рост цен, как скорость, с которой вы забываете формулы после экзамена.
Разберёмся, что это такое, как её находить и зачем она нужна — на простых примерах и без лишней теории.
Что такое производная?
Производная функции y = f(x) в точке — это скорость, с которой меняется значение функции при малом изменении аргумента x.
Геометрически — это угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.
Обозначается так:
f′(x) или y′ или dy/dx
Например, если f(x) = x², то её производная f′(x) = 2x. Это значит, что в точке x = 3 скорость роста функции — 6. В x = –1 — скорость «роста» уже отрицательная: –2 (функция убывает).
Основные правила дифференцирования
Чтобы находить производные, не нужно каждый раз возвращаться к пределам. Есть готовые правила — запомните их, и 90% задач будут решаться за секунды.
1. Производная константы
(c)′ = 0
Пример: (5)′ = 0, (–3.7)′ = 0 — константа не меняется.
2. Степенная функция
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Примеры:
(x²)′ = 2x(x⁵)′ = 5x⁴(√x)′ = (x¹/²)′ = (1/2)x⁻¹/² = 1/(2√x)(1/x)′ = (x⁻¹)′ = –x⁻² = –1/x²
3. Производная суммы и разности
(u ± v)′ = u′ ± v′
Пример: (x² + 3x – 1)′ = 2x + 3
4. Производная произведения
(u·v)′ = u′·v + u·v′
Пример: (x·sin x)′ = 1·sin x + x·cos x = sin x + x cos x
5. Производная частного
(u/v)′ = (u′·v – u·v′) / v²
Пример: (x / (x+1))′ = (1·(x+1) – x·1) / (x+1)² = 1/(x+1)²
6. Производная сложной функции (цепное правило)
(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)
Пример: (sin(2x))′ = cos(2x) · 2 = 2cos(2x)
Ещё: ((3x–1)⁴)′ = 4(3x–1)³ · 3 = 12(3x–1)³
Таблица производных основных функций
Эти производные лучше выучить — они встречаются повсеместно:
| Функция f(x) | Производная f′(x) |
|---|---|
| xⁿ | n·xⁿ⁻¹ |
| sin x | cos x |
| cos x | –sin x |
| tg x | 1/cos²x или sec²x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
| aˣ | aˣ·ln a |
| logₐ x | 1/(x·ln a) |
Примеры: решаем по шагам
Пример 1: f(x) = 3x⁴ – 2x² + 5x – 7
Применяем правило для суммы и степенной функции:
f′(x) = 3·4x³ – 2·2x + 5 = 12x³ – 4x + 5
Пример 2: f(x) = x·eˣ
Произведение: u = x, v = eˣ
f′(x) = 1·eˣ + x·eˣ = eˣ(1 + x)
Пример 3: f(x) = sin(3x²)
Сложная функция: внешняя — sin(u), внутренняя — u = 3x²
f′(x) = cos(3x²) · (6x) = 6x·cos(3x²)
Зачем нужна производная?
Не только для контрольных. Вот где она пригождается:
- Анализ функций: нахождение максимумов, минимумов, промежутков возрастания и убывания.
- Физика: скорость — производная координаты, ускорение — производная скорости.
- Экономика: предельные издержки, предельный доход — всё это производные.
- Оптимизация: найти, при каком x функция достигает наибольшего значения (например, максимальная прибыль).
- Приближённые вычисления: с помощью дифференциала можно оценить изменение функции.
Короче: если что-то меняется — производная рядом.
Вывод: производная — это не магия, а инструмент
Производная — не просто формула из учебника. Это способ понять, как и насколько быстро что-то меняется.
Выучите основные правила и табличные производные — и вы сможете дифференцировать большинство функций за минуту. А если забудете — вон таблица выше. Главное — не бояться. Потому что даже самая сложная функция рано или поздно превращается в сумму простых кусочков.
И помните: если функция растёт — производная положительна. Если убывает — отрицательна. А если стоит на месте — значит, производная равна нулю. Как и ваша мотивация перед сессией.